用数学归纳法证明当n>=3时4^n>3n+10

问题描述:

用数学归纳法证明当n>=3时4^n>3n+10

n=3显然成立
假设n=k时,有4^k>3k+10
则n=k+1时
4^(k+1)=4*4^k>4(3k+10)=12k+40
12k+40-[3(k+1)+10]=8k+27
显然,当k>=3时8k+27>0
所以12k+40-[3(k+1)+10]>0
所以4^(k+1)>3(k+1)+10
因此命题得证

当n=3时,4^3=64>3*3+10=19,命题成立.
假设n=k (k>3)时命题成立,即4^k>3k+10;
则当n=k+1时
4^(k+1)=4*4^k>4*(3k+10)=12k+40>3k+13=3(k+1)+10;
所以对任意>3的自然数都有4^n>3n+10