高数极限 不要用洛必达法则lim (x+e^x)^(1/x) (x––>0) 爪机无力追问,请给出详细步骤

原式=e^lim ln(x+e^x)/x 当 x––>0 ln(x+e^x)-->0 所以x––>0 ln(1+x+e^x-1) 等价于 x+e^x-1
=e^lim (x+e^x-1)/x
=e^lim 1+(e^x-1)/x
=e^(1+1)
=e^2

用重要极限lim（x->0）(1+x)^1/x=e求
lim[1+(x+e^x-1)]^1/[x+e^x-1] *[x+e^x-1]/x
=e^2
这里x->0时，x+e^x-1~2x

lim (x+e^x)^(1/x)
=lim [e^x(x/e^x+1)]^(1/x)
=lim [e^x]^(1/x)[(x/e^x+1)]^(1/x)
=e lim (x/e^x+1)^(1/x)
=e lim [(1+x/e^x)^(e^x/x)]^(1/e^x)
=e lim [(1+x/e^x)^(e^x/x)]^ (lim 1/e^x)
因为x/e^x->0 (分母永远大于0)
由重要极限t->0
lim (1+t)^(1/t)=e
和
lim 1/e^x=1/1=1
则原极限
=e *(e)^1
=e^2