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设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=kn2+n，n∈N，其中k是常数．若对于任意的m∈N，am，a2m，a4m成等比数列，则k的值为______．

分类: 作业答案 • 2022-01-04 12:18:54

问题描述：

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=kn²+n，n∈N^*，其中k是常数．若对于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，则k的值为______．

答

（1）由题意当n=1，a₁=S₁=k+1，
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=kn²+n-[k（n-1）²+（n-1）]=2kn-k+1（*）．
经检验，n=1时（*）式成立，
∴a_n=2kn-k+1．
（2）∵a_m，a_2m，a_4m成等比数列，
∴a_2m²=a_ma_4m，
即（4km-k+1）²=（2km-k+1）（8km-k+1），
整理得：mk（k-1）=0，对任意的m∈N^*成立，
∴k=0或k=1．
故答案为：k=0或k=1．
答案解析：先通过求a₁=S₁求得a₁，进而根据当n≥2时a_n=S_n-S_n-1求出a_n，验证可得a_n，（2）根据a_m，a_2m，a_4m成等比数列，可知a_2m²=a_ma_4m，根据数列{a_n}的通项公式，代入化简即可．
考试点：等比数列的性质．

知识点：本题考查数列等比关系的确定和求数列通项公式，属中档题．

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=kn2+n，n∈N*，其中k是常数．若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，则k的值为______．

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