抛物线y=1/2 x^上距A（0,a)（a>0)最近的点是原点,求a的取值范围,

可设点P(2t,2t²)是抛物线x²=2y上的任意一点，则|PA|²=(2t-0)²+(2t²-a)²=[2t²-(a-1)]²+(2a-1).由题设可知，仅当t=0时，函数f(t)=[2t²-(a-1)]²+(2a-1)取得最小值，这就要求对称轴x=a-1≤0.∴a≤1,又a＞0.∴0＜a≤1.

∵抛物线y=1/2 x^2上距A（0，a)（a>0)最近的点是原点
∴以A（0，a)为圆心半径为a的园与抛物线相切时，半径最大。
圆的方程：x^2+(y-a)^2=0.……（1）与抛物线y=1/2 x^2……（2）只有一个交点。
由（1）（2）得到y^2+2(1-a)y=0，Δ=0得到a=1。
∵a>0，∴0＜a≤1

设抛物线上一点P的坐标为(x,y), 则P点到A点距离L, L² = y²-2ay+a²+2y合并整理后得到: L² = y² - 2(a-1)y + a² = [y-(a-1)]² + a² - (a-1)²令Z=L²,则整理后的方程...

我有点笨，百思求得一解，想必可行。思路：以A（0，a） 为圆心，a为半径作圆，必与抛物线有交点。不过依a的大小交点有一个或三个。取有一个交点的圆的半径即是a的取值范围。依此思路，得圆的方程xx+（y-a)(y-a)=aa，即xx+yy-2ay=0。解方程组
y=xx/2， ①
xx+yy-2ay=0。②
把①代入②得xxxx/4+(1-a)xx=0，xxxx+(4-4a)xx=0，因为xx为实数，若圆与抛物线只有一个交点，则1-a=0，解得xx=2(1-a)。又x为实数，所以1-a≥0，解得a≤1。又a＞0，所以0＜a≤1。（注：xx表示x的平方）