如图，Rt△AOB中，∠A=90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA=2，AB=8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．（1）填空：直线OC的解析式为 ___ ；抛物线的解析式为 ___ ；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．
如图，Rt△AOB中，∠A=90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA=2，AB=8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．
（1）填空：直线OC的解析式为 ___ ；抛物线的解析式为 ___ ；
（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；
①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；
②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．
（1）∵OA=2，AB=8，点C为AB边的中点
∴点C的坐标为（2，4）点，
设直线的解析式为y=kx
则4=2k，解得k=2
∴直线的解析式为y=2x，
设抛物线的解析式为y=kx2
则4=4k，解得k=1
∴抛物线的解析式为y=x2
（2）设移动后抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m
当OD=BC，四边形BDOC为平行四边形，
∴OD=BC=4，
①则可得x=0时y=4，
∴m2+2m=4，
∴（m+1）2=5
解得m=-1+
，m=-1-
5
（舍去），
5
所以m=-1+
5
y=(x+1-
)2+2×（-1+
5
）
5
=(x+1-
)2-2+2
5
，
5
②∵BE=8-[（2-m）2+2m]
=4+2m-m2
∴S△BOE=
BE•OA1 2
=
（4+2m-m2）×21 2
=-m2+2m+4
=-（m-1）2+5，
而0≤m≤2，
所以4≤S≤5．
答案解析：（1）本题须先求出点C的坐标然后即可求出直线OC的解析式和抛物线的解析式．
（2）①本题首先需根据抛物线的移动规律设出抛物线的解析式，再根据平行四边形的性质即可得出m的值．
②本题需先求出△BOE的面积S与m的关系，再根据m的取值范围即可求出S的取值范围．
考试点：二次函数综合题．
知识点：本题主要考查了二次函数综合应用，在解题时要注意结合题意求出抛物线的解析式并能列出方程是本题的关键．