诉求,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,连AP,说明AC²=AP²+CP·BPP可以移动吗？P不在中点上

作AD垂直于BC于点D
根据等腰三角形三线合一:BD=CD
Rt△ABD中：AB^2-AD^2=BD^2
Rt△ADP中：AP^2-AD^2=PD^2(勾股定理)
相减得：AC^2-AP^2=(BD+PD)(CD-PD)=BP*PC
即AC²=AP²+CP·BP

最佳答案 - 由投票者2008-03-09 10:12:03选出
解:在△APC中使用余弦定理得:
AC^2=AP^2+CP^2-2AP*CP*cos∠APC.................(1)
再在△ABP中使用余弦定理,并注意∠APC=180°-∠APB,得:
AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP*cos∠APB
=AP^2+BP^2+2AP*BP*cos∠APC.....................(2)
(2)-(1),并注意AB=AC,得:
0=BP^2-CP^2+2AP(BP+CP)cos∠APC
∴cos∠APC=(CP^2-BP^2)/2AP(BP+CP)=(CP-BP)/2AP
代入(1)式得:
AC^2=AP^2+CP^2-2AP*CP*[(CP-BP)/2AP]
=AP^2+CP^2-CP(CP-BP)=AP^2+CP*BP.
故证.
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作辅助线AD 垂直BC于点D
可知：BD=CD AB=AC
勾股定理:AC^2 = AD^2 + CD^2 (△ACD)
AP^2 = AD^2 + PD^2 (△ADP)
用AD代入可得：AC^2 = AP^2 - PD^2 + CD^2
= AP^2 + (CD^2 - PD^2)
= AP^2 + (CD + PD)(CD - PD) ---A^2-B^2=(A=B)(A-B)
= AP^2 + CP·BP