如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，点E与点D关于直线AB对称，连接AE、BE．（1）求BD：DC；（2）将图1中的△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1．连接A1C、AE1，如图2所示，求线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数．
问题描述：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，点E与点D关于直线AB对称，连接AE、BE．
（1）求BD：DC；
（2）将图1中的△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1．连接A1C、AE1，如图2所示，求线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数．
答
（1）如图1，连接AD，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=30°，∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴BD=AD，∴∠BAD=∠ABC=30°，∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=90°，在Rt△ACD中，∠C=30°，∴AD：DC=1；2，∴BD：DC=1...
答案解析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质可证明BD=AD，再根据含30°角的直角三角形性质可证明：AD：DC=1；2，所以BD：DC=1：2；
（2）如图2，过点A作AF⊥BC交于点F，则BC=2BF，由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，设A1C分别交AE1，AB于点M和N，证明△A1E1B∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证明线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数．
考试点：相似形综合题．
知识点：本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、图形旋转的性质以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．