已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
问题描述：
已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
答
分析：由于两个向量相乘等于模长的积乘以cosθ，而θ为钝角时为负值，所以只需要两个向量相乘为负值，就可以说明这2个向量成钝角
由题意得
ab=|a||b|cos60°=1
a²=4，b²=1
(2ta+7b)(a+tb)2ta²+2t²ab+7ab+7tb²2t*4+2t²*1+7*1+7t*18t+2t²+7+7t即2t²+15t+7(2t+1)(t+7)-7
答
∵夹角是钝角,所以相乘∴(2ta+7b)(a+tb)2ta²+2t²ab+7ab+7tb²而ab=|a||b|cos60°=1
a²=4,b²=1
∴由2ta²+2t²ab+7ab+7tb²得8t+2t²+7+7t即2t²+15t+7(2t+1)(t+7)t∈（-7,-1/2)