已知函数f(x)=(e^x-e^-x)/2(x∈r),则f(x)的反函数为?
问题描述：
已知函数f(x)=(e^x-e^-x)/2(x∈r),则f(x)的反函数为?
答
y=(e^x-e^(-x))/2
2y=e^x-e^(-x)
2ye^x=e^(2x)-1
e^(2x)-2ye^x=1
e^(2x)-2ye^x+y²=1+y²
(e^x-y)²=1+y²
e^x-y=±√(1+y²)
e^x=y±√(1+y²)
x=ln│y±√(1+y²)│
x=±ln│y+√(1+y²)│ (ln│y-√(1+y²)│=-ln│y+√(1+y²)│)
x=±ln(y+√(1+y²)) (y+√(1+y²)>0)
答
y=(e^x-e^-x)/2
=[e^x-(1/e^x)]/2
=[e^(2x)-1]/(2e^x)
∴e^(2x)-1=2ye^x
e^(2x)-2ye^x-1=0
令e^x=t,t＞0
则t²-2yt-1=0
t=y+√(y²+1) (y-√(y²+1)＜0舍)
∴e^x=y+√(y²+1)
∴x=ln[y+√(y²+1)]
∴f-1(x)=ln[x+√(x²+1)] (x∈R)