已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

答

（I）f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（II）因为f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（-2）．
因为在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，
因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．
故f（x）=-x³+3x²+9x-2，因此f（-1）=1+3-9-2=-7，
即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-7．
答案解析：（I）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；
（II）先求出端点的函数值f（-2）与f（2），比较f（2）与f（-2）的大小，然后根据函数f（x）在[-1，2]上单调递增，在[-2，-1]上单调递减，得到f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值．
考试点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

知识点：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．