已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1；除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以（x+2）（x+3）所得的余式为?选项有：A.2X-5 B.2X+5 C.X-1 D.X+1 E.2X-1
问题描述：
已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1；除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以（x+2）（x+3）所得的余式为?
选项有：A.2X-5 B.2X+5 C.X-1 D.X+1 E.2X-1
答
f(x)-1能被x+2整除，
f(x)+1能被x+3整除,
(f(x)-1)(f(x)+1)=n(x+2)(x+3) ，n为正整数
f(x)平方=n(x+2)(x+3)+1
=nx^2+5nx+6n+1
因为f(x)为有理数，所以后式为完全平方式
n(x^2+5x+(6n+1)/n)
=n(x+5/2)^2
(6n+1)/n=25/4
25n=24n+4
n=4
所以f(x)=2(x+5/2)=2x+5
答
选B
由第一个条件可知,f(x)=A(x+2)+1=(A-1)(x+2)+(x+3)
由第二个条件可知,f(x)=B(x+3)-1=(B-1)(x+3)+(x+2)
（其中A、B都是关于x的整式）
则(A-1)(x+2)+(x+3)=(B-1)(x+3)+(x+2)
变形得(A-2)(x+2)=(B-2)(x+3)
可知整式A-2中含有因式x+3,B-2中含有因式x+2
那么f(x)=(A-1)(x+2)+(x+3)=(A-2)(x+2)+(2x+5)
由于A-2中含有因式x+3,那么(A-2)(x+2)能被(x+2)(x+3)整除,
所以余式为2x＋5