一条线段的长等于10,两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动,M在线段AB上且AM=4MB,则点M的轨迹方程是______.

问题描述:

一条线段的长等于10,两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动,M在线段AB上且

AM
=4
MB
,则点M的轨迹方程是______.

设M(x,y),A(a,0),B(0,b)
则a2+b2=100,…①

AM
=4
MB
,∴x=
1
5
a
,y=
4
5
b

由此可得a=5x且b=
5
4
y
,代入①式可得25x2+
25
16
y2
=100,
化简得16x2+y2=64,即为所求点M的轨迹方程.
故答案为:16x2+y2=64.
答案解析:设M(x,y),A(a,0),B(0,b),根据
AM
=4
MB
,确定坐标之间的关系,代入a2+b2=100,可得结论.
考试点:轨迹方程.
知识点:本题给出动点满足的条件,求动点的轨迹方程,考查向量的坐标运算、椭圆的定义与标准方程和动点轨迹的求法等知识,属于中档题.