用闭区间套定理证明零点定理

即要证：若函数g在[a,b]上连续，g(a)0，则存在x0∈(a,b)，使g(x0)=0
将[a,b]等分为两个子区间[a,c]与[c,b].
若g(c)=0，则c为所求；
若g(c)≠0，则当g(c)>0时，记[a1,b1]=[a,c]
当g(c)于是有g(a1)0，且[a1,b1]含于[a,b]，b1-a1=(1/2)*(b-a)
再从区间[a1,b1]出发，重复上述过程，得到：
或者在[a1,b1]的中点c1处有g(c1)=0，
或者有闭区间[a2,b2]，满足g(a2)0，且[a2,b2]含于[a1,b1]，b2-a2=(1/2^2)*(b-a)
将上述过程不断地进行下去，可能有两情形：
1、在某区间的中点ci处有g(ci)=0，则ci为所求
2、在任一区间的中点ci处均有g(ci)≠0，则得到闭区间列{[an,bn]}满足g(an)0，且
[a(n+1),b(n+1)]含于[an,bn]，bn-an=(1/2^n)*(b-a)，n=1，2，……
根据区间套定理，存在点x0∈[an,bn]，n=1,2,…，且lim an=lim bn=x0
下证g(x0)=0，又有g在x0处连续，所以由归结原则得：
g(x0)=lim g(an)≤0，g(x0)=lim g(bn)≥0
那么，
g(x0)=0
因此，
若函数g在[a,b]上连续，g(a)0，则存在x0∈(a,b)，使g(x0)=0

有不懂欢迎追问

好久不做数学分析题了，生疏了。试试
设f(x)为连续函数，且f(a)f(b)1、取a，b中点(a+b)/2，若f((a+b)/2)=0，则ξ已找到；
否则：若f((a+b)/2)与f(a)异号，则记a1=a，b1=(a+b)/2；
若f((a+b)/2)与f(b)异号，则记a1=(a+b)/2，b1=b；
则此时有f(a1)f(b1)2、取a1，b1中点(a1+b1)/2，重复这一步骤；
....................
这样如果所有的中点都不是零点，我们得到一系列闭区间套
[an，bn]，由于每个区间长度都是前一个的一半，因此区间长度趋于0，
由闭区间套定理，当n→∞时，存在唯一的常数ξ，属于所有的闭区间，则f(ξ)=0
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

不妨设f(a)