如果自然数xi满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5,求x5的最大值.

问题描述:

如果自然数xi满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5,求x5的最大值.

∵自然数xi满足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5
∴x1,x2,x3,x4,x5都是正整数,
不妨设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5
若除了x5其他全是1,
∴4+x5=x5,∴不可;
∴至少有2个数大于等于2,
若只有2个数大于等于2,则3+x4+x5=x4x5
即(x4-1)(x5-1)=4,
∴x5=5,x4=2(舍去)或x5=3,x4=3,
∴至少有3个数大于等于2,
若3个数大于等于2中有2个等于2,则1+1+2+2+x5=4x5
∴x5=2,∴不可;
∴至少有3个数大于等于2,3个数大于等于2中只有1个等于2,那么至少还有一个大于等于3,
若x5≥6,
∴x1x2x3x4x5≥1×1×2×3×6≥36,
∴x1+x2+x3+x4+x5≤5×6=30,矛盾,
∴x5≤5,其次x1=1,x2=1,x3=1,x4=2,x5=5,成立.
∴x5的最大值为5.
答案解析:根据题意可知:x1,x2,x3,x4,x5都是正整数,所以可设1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5,再分别从除了x5其他全是1,至少有2个数大于等于2,至少有3个数大于等于2,去分析求解即可求得答案.
考试点:非一次不定方程(组).
知识点:此题考查了自然数的应用.解题的关键是利用分类讨论思想求解.