某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试．测试规定：对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过．为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题．假设该选手答对每道题的概率均为23，且各题对错互不影响．（Ⅰ）求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；（Ⅱ）设在一次测试中该选手答题数位ξ，求ξ的分布列和数学期望．
问题描述：
某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试．测试规定：对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过．为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题．假设该选手答对每道题的概率均为
，且各题对错互不影响．2 3
（Ⅰ）求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；
（Ⅱ）设在一次测试中该选手答题数位ξ，求ξ的分布列和数学期望．
答
∴Eξ=3×
+4×
+5×
=
．
答案解析：（Ⅰ）利用独立重复试验概率计算公式能求出该选手恰好答题4道就通过的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为3，4，5，分别求出P（ξ=3），P（ξ=5），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
考试点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
知识点：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
（Ⅰ）该选手恰好答题4道就通过的概率为：
p=
(
C
2
3
)3•2 3
=1 3
．8 27
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为3，4，5，
P（ξ=3）=(
)3+(1 3
)3=2 3
，1 3
P（ξ=5）=
(
C
2
4
)2(2 3
)2=1 3
，8 27
P（ξ=4）=1-
−1 3
=8 27
，10 27
∴ξ的分布列为：
| ξ | 3 | 4 | 5 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 107 |
| 27 |
答案解析：（Ⅰ）利用独立重复试验概率计算公式能求出该选手恰好答题4道就通过的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为3，4，5，分别求出P（ξ=3），P（ξ=5），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和数学期望．
考试点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
知识点：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．