如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数“(1)36是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方数(取正数)是神秘数吗?为什么?

问题描述:

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数“
(1)36是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方数(取正数)是神秘数吗?为什么?

(1)28=2×14=(8-6)(8+6)=82-62;2012=4×503=5042-5022,
所以是神秘数.
(2)(2k+2)2-(2k)2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+1),
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.
(3)设两个连续奇数为2k+1和2k-1,
则(2k+1)2-(2k-1)2=8k=4×2k,
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数.

(1)假设36为神秘数,连续两个偶数为2X,2X+2,则(2X+2)^2-(2X)^2=36
解得X=4,即两个连续偶数为8,10.代入验算,10^2-8^2=36,所以36为神秘数.
(2)(2K+2)^2-(2K)^2=8K+4=4(2K+1),所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
(3)设奇数为2K+1,2K+3,则,(2K+3)^2-(2K+1)^2=8(K+1)
假设8(K+1)为神秘数,则满足该数的两个连续偶数为2A,2A+2,即,(2A+2)^2-(2A)^2=8(K+1),解得,A=K+1/2,两个连续数为2K+1,2K+3,任为奇数,不符合,因此两个奇数的平方数不为神秘数.

1、是 36=10²-8²2、(2k+2)²-(2k)²=4k²+8k+4-4k²=4(2k+1)故必为4的倍数3、设两个连续奇数分别为2n+1和2n-1(2n+1)²-(2n-1)²=4n²+4n+1-(4n²-4n+1)=8n这...