有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=−ba、x1•x2=ca，这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1．若x1、x2是方程x2+mx-2m=0的两个根．（其中m≠0）试求：（1）x1+x2与x1•x2的值（用含有m的代数式表示）．（2）x12+x22的值（用含有m的代数式表示）．[提示：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2]（3）若x1x2+x2x1＝1，试求m的值．
问题描述：
有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=−
、x1•x2=b a
，这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1．c a
若x1、x2是方程x2+mx-2m=0的两个根．（其中m≠0）试求：
（1）x1+x2与x1•x2的值（用含有m的代数式表示）．
（2）x12+x22的值（用含有m的代数式表示）．[提示：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2]
（3）若
+x1 x2
＝1，试求m的值． x2 x1
答
知识点：本题利用了根与系数的关系，即对于一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有这样的关系：x1+x2=-
，x1x2=
．
根据题意得
（1）x1+x2=-m，x1•x2=-2m；
（2）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-m）2+4m=m2+4m；
（3）∵
+x1 x2
＝1，x2 x1
∴
＝1，
x12+x22
x1x2
∴
＝1，
m2+4m −2m
解得m1=-6，m2=0
经检验-6是m的值，0不是．
∴m=-6．
当m=-6时，方程即：x2-6x+12=0
判别式△=（-6）2-4×12=36-48=-12＜0
则方程无解．
∴m的值不存在．
答案解析：（1）利用韦达定理可求x1+x2，x1x2的值；
（2）对x12+x22进行变形，再把x1+x2，x1x2的值整体代入就可求值；
（3）可对
+x1 x2
=1的左边进行变形，再把x1+x2，x1x2的值整体代入，即可得到关于m的方程，解即可．x2 x1
考试点：根与系数的关系；解分式方程．
知识点：本题利用了根与系数的关系，即对于一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1、x2有这样的关系：x1+x2=-
| b |
| a |
| c |
| a |