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已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，求复数z及ω（设z=x+yi，x、y∈R）

分类: 作业答案 • 2021-12-18 21:46:04
问题描述：

已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，ω=

z
2+i
，且|ω|=5
 2
，求复数z及ω（设z=x+yi，x、y∈R）

答

设z=x+yi，（x、y∈R），则（1+3i）•z=（x-3y）+（3x+y）i为纯虚数，
∴x-3y=0，3x+y≠0，
∵|ω|=|

z
2+i
|=5
 2
，
∴|z|=
 x2+y2
=5
 10
；又x=3y．
解得x=15，y=5，或x=-15，y=-5，
∴z=±（15+5i），ω=±
15+5i
2+i
=±（7-i）．
答案解析：设z=x+yi，（x、y∈R），由题意可得x-3y=0，3x+y≠0，由∵|ω|=|
z
2+i
|=5
 2
，得|z|=
 x2+y2
=5
 10
；联立可解x，y．
考试点：复数代数形式的混合运算．
知识点：该题考查复数代数形式的运算、复数的模，属基础题．

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