已知正实数a、b、c满足a2+4b2+c2=3．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值；（Ⅱ）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 19:10:12

问题描述：

已知正实数a、b、c满足a²+4b²+c²=3．
（Ⅰ）求a+2b+c的最大值；
（Ⅱ）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．

答

答案解析：（I）由条件利用柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²，即9≥（a+2b+c）²．再根据a、b、c为正实数，求得a+2b+c的最大值．
（Ⅱ）由题意可得|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max=3，可得

x＜1

(5−x)−(1−x) ≥3

①；或

1≤x＜5

(5−x)−(x−1)≥3

②；或

x≥5

(x−5)−(x−1)≥3

③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
考试点：绝对值不等式的解法．
知识点：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．