已知a b c为互不相等的正实数 且a+b+c=1 求证1/a+1/b+1/c>9如题已知a b c为互不相等的正实数 且a+b+c=1 求证1/a+1/b+1/c>9
问题描述：
已知a b c为互不相等的正实数 且a+b+c=1 求证1/a+1/b+1/c>9
如题
已知a b c为互不相等的正实数 且a+b+c=1
求证1/a+1/b+1/c>9
答
充分利用a+b+c=1
1/a+1/b+1/c=（a+b+c）/a+（a+b+c ）/b+（a+b+c ）/c
=1+b/a+c/a+1+a/b+c/b+1+a/c+b/c
=3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)因为a b c为互不相等的正实数
>3+2+2+2=9
答
利用均值不等式
a+1/(9a)>=2(a*1/(9a))^(1/2)=2/3.等号成立当且仅当a=1/(9a).a=1/3
同理,b+1/(9b)>=2/3.等号成立当且仅当b=1/3；c+1/(9c)>=2/3.等号成立当且仅当c=1/3
三式相加得a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c）>=2
1/(9a)+1/(9b)+1/(9c）>=1.1/a+1/b+1/c>=9
这里等号成立的条件是a=b=c=1/3.与条件不符
故1/a+1/b+1/c>9