已知:a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列,求证:q3+q2+q=1.

问题描述:

已知:a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列,求证:q3+q2+q=1.

证明:设x=a+b+c,
则b+c-a=xq,c+a-b=xq2,a+b-c=xq3
∴xq+xq2+xq3=x(x≠0),
∴q3+q2+q=1.
答案解析:由a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c依次成等比数列,公比为q,可设a+b+c=x,由公比q,利用等比数列的通项公式表示出其余三项,三个等式相加后,由x不等于0消去x即可得证.
考试点:等比数列的性质.
知识点:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等比数列的性质,是一道基础题.解本题的关键是设a+b+c=x,利用等比数列的通项公式表示出其余各项.