设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．（1）求f(12)的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．
问题描述：
设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求f(
)的值；1 2
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．
答
（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2分）令m＝2，n＝12，则f(1)＝f(2×12)＝f(2)+f(12)，∴f(12)＝f(1)−f(2)＝−1（4分）（2）设0＜x1＜x2，则x2x1＞1∵当x＞1时，f（x）＞0∴f(x2x1)＞0（6分）f(...
答案解析：（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令m＝2，n＝
，即可求出f(1 2
)的值；1 2
（2）先在定义域内任取两个值x1，x2，并规定大小，然后判定出f（x1），与f（x2）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；
（3）分别画出y=4sinx的图象与y=f（x）的图象，结合图象以及函数的单调性判定出交点的个数即可．
考试点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．
知识点：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．