若n为正整数且4的7次方＋4的次方＋4的1998次方是一个完全平方数,求n!
问题描述：
若n为正整数且4的7次方＋4的次方＋4的1998次方是一个完全平方数,求n!
答
n=1003
答
4^7+4^n+4^1998
=4^7[1+4^(n-7)+4^1991]
=4^7[1+2*2^(2n-13)+2^3982]
若2n-13=1991,则改式为1个完全平方式
所以n=1002
答
原式变形为：
4^7+4^n+4^1998=(2^7)^2+(2^n)^2+(2^1998)^2
要使上式是一个完全平方式,它必须符合a²+2ab+b²=(a+b)²的特征,所以令：
a=2^7
b=2^1998
2ab=2×2^7×2^1998=2^2006
对应,得：
(2^n)^2=2^2006
2^2n=2^2006
2n=2006
得：n=1003；