设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组AX=0,如果A中每行元素之和均为0.且r(A)=n-1,则方程组的通解是?,如果每个n维列向量都 是方程组的解,则r(A)=?
问题描述：
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组AX=0,如果A中每行元素之和均为0.且r(A)=n-1,则方程组的通解是?,如果每个n维列向量都 是方程组的解,则r(A)=?
答
显然（1,1,.,1）^T是AX=0的非零解,把r(A)=n-1代入公式
解向量个数＝未知量个数-系数矩阵的秩＝n-(n-1)＝1
所以方程只有一个解向量,所以通解就是X=k（1,1,.,1）^T,其中k为任意常数
如果每个n维列向量都 是方程组的解,说明解向量能描述整个空间里的每一个向量,而我们知道只有个数和空间维数相等且线性无关的向量组才能做到这一点,比如3维空间里的xyz坐标,所以方程有n个解向量,再次代入我上面的公式容易得到矩阵的秩为0