如果函数f（x）的定义域为{x|x∈R+}，且f（x）为增函数，f（xy）=f（x）+f（y）．（1）证明：f（xy）=f（x）-f（y）；（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
问题描述：
如果函数f（x）的定义域为{x|x∈R+}，且f（x）为增函数，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：f（
）=f（x）-f（y）；x y
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
答
（1）∵f(x)＝f(
•y)＝f(x y
)+f(y)，x y
∴f(
)＝f(x)−f(y)；x y
（2）∵f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）-f（a-1）＞2，
∴f(
)＞2＝f(3)+f(3)＝f(9)，a a−1
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴
＞9解得a＜a a−1
，9 8
又a＞0，a-1＞0，
∴1＜a＜
，9 8
∴a的取值范围是1＜a＜
．9 8
答案解析：（1）结合抽象表达式用x=
•y即可将f（x）转化成f(x)＝f(x y
•y)＝f(x y
)+f(y)，即可证得f（x y
）=f（x）-f（y）；x y
（2）首先通过赋值可求出2=f（9），进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调性，结合变形后的抽象函数即可获得变量a的要求，进而问题即可获得解答．
考试点：抽象函数及其应用．
知识点：本题考查的是抽象函数及其应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、特值的思想、转化的思想以及计算和解不等式组的能力．值得同学们体会和反思．