已知a、b、c∈R,且ab+bc+ac=1,求证：根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab≥根号3（根号a+根号b+根号c）

由柯西不等式（(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2+……+(an)^2)((b1)^2+(b2)^2+(b3)^2+……+(bn)^2)
≥(a1b1+a2b2+a3b3+……+anbn)^2）,得：
(根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab)(根号abc+根号abc+根号abc)>=(根号a+根号b+根号c)^2…（1）
由均值不等式平方平均数>=调和平均数
[√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]>= n/(1/a1+1/a2+...+1/an)],
可知：
对于正实数x y z, (x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x+1/y+1/z)
即，1/x+1/y+1/z>=3/((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2+y^2+z^2)
所以有：
(根号a+根号b+根号c)/根号abc=1/根号bc+1/根号ac+1/根号ab>=3根号3/根号(ab+bc+ca)
=3根号3……………（2）
综合（1）、（2）可得：
根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab>=(根号a+根号b+根号c)^2/(根号abc+根号abc+根号abc)……由（1）式得
=(根号a+根号b+根号c)(根号a+根号b+根号c)/3根号abc>=(根号a+根号b+根号c)*3根号3/3……由（2）式得
=根号3(根号a+根号b+根号c)
证毕。

这个先把A B C分别表示出来，A=1-BC-AC/B,用同样的方法表示B C，然后代入求证的公式中

a b c∈R+ ab+bc+ac=1
由柯西不等式（柯西不等式可用一元二次多项式恒非负时△=0恒成立,由△=(根号a+根号b+根号c)^2
因为
由均值不等式之 平方平均>=算术平均>=倒数平均(由展开和柯西不等式可证得两个不等号),对于正实数x y z ((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x+1/y+1/z)
即,1/x+1/y+1/z>=3/((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2+y^2+z^2)
(根号a+根号b+根号c)/根号abc=1/根号bc+1/根号ac+1/根号ab>=3根号3/根号(ab+bc+ca)=3根号3
所以
根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab>=(根号a+根号b+根号c)^2/(根号abc+根号abc+根号abc)
>=(根号a+根号b+根号c)*3根号3/3
=根号3(根号a+根号b+根号c)
所以原不等式成立