已知：A(1,0),B(0,1),C(cosa,sina),D(cosβ,sinβ)是单位圆上的四个点,O 为原点a=π/12或5π/12 若|向量AC|^2+|向量BD|^2=6,|向量AD|^2+|向量BC|^2=3,求sin(a+β)的值
问题描述：
已知：A(1,0),B(0,1),C(cosa,sina),D(cosβ,sinβ)是单位圆上的四个点,O 为原点
a=π/12或5π/12 若|向量AC|^2+|向量BD|^2=6,|向量AD|^2+|向量BC|^2=3,求sin(a+β)的值
答
AC=(cosa-1,sina); BD=(cosβ,sinβ-1)
若|向量AC|^2+|向量BD|^2=6； 即(cosa-1)²+sin²a+cos²β+(sinβ-1)²=6
化简得：sinβ+cosa=-1;
两边平方得：sin²β+cos²a+2sinβcosa=1 .(1)
AD=(cosβ-1,sinβ) BC=(cosa,sina-1)
|向量AD|^2+|向量BC|^2=3,
即：(cosβ-1)²+sin²β+cos²a+(sina-1)²=3
所以：sina+cosβ=½
平方得：sin²a+cos²β+2sinacosβ=¼ .(2)
(1)+(2)得：2+2(sinacosβ+cosasinβ)=5/4
sin(a+β)=-3/8