已知n∈N+,n≥2,求证：cos1/2·cos1/3…cos1/n＞2/3三角不等式证明23点前最好能给答复
问题描述：
已知n∈N+,n≥2,求证：cos1/2·cos1/3…cos1/n＞2/3
三角不等式证明
23点前最好能给答复
答
cos²(1/n)=1-sin²(1/n)>1-1/n²=(n-1)(n+1)/n²
(cos1/2·cos1/3…cos1/n)²>(1·3/2²)(2·4/3²)(3·5/4²)…((n-1)(n+1)/n²)=(n+1)/2n>1/2>4/9
所以cos1/2·cos1/3…cos1/n＞2/3
答
1.只需证明ln[cos1/2·cos1/3…cos1/n]>ln[2/3]=-0.405465108..用常见不等式(大学):ⅰ.当0≤x,cosx≥1-x^2/2 ⅱ.当0≤x≤1/8,ln(1-x)≥-8x/7 还用常见等式:(1/1^2)+(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+..+(1/n^2)+..=π^2/6 2....