在△ABC中,CD⊥AB于点D 若CD²=AD×DB 求证 △ABC是直角三角形

因为CD²=AD×DB所以有：CD/AD=AD/DB（1）
又因为CD⊥AB所以有 ：角CDA=角CDB=90°（2）
三角形CDA为直角三角形
联立（1）（2）得：三角形CDA与三角形CDB相似
即有：∠CAD=∠CDB（3）
在直角三角形CDA中有 ∠CAD+∠ACD=90°（4）
联立（3）（4）等价替换得：∠ABC=∠CAD+∠CDB=90°
即 △ABC是直角三角形

证明：∵CD⊥AB∴△ADC和△CDB都是直角三角形，∵CD²=AD×DB即AD:CD=CD:DB
所以，RTACD∽RT△CDB∴∠A=∠DCB ∠ACD=∠B 故2(∠ACD+∠DCB)=180°
所以：∠ACB=90°
所以：三角形ACB是直角三角形。

因为CD⊥AB,根据勾股定理,CB2=CD2+BD2 同理,AC2=CD2+AD2
因此,CB2+AC2=2CD2+BD2+AD2 又因为CD²=AD×DB
所以 CB2+AC2=2 AD×DB +BD2+AD2 =（BD+AD）2=AB2
根据勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形,且角C为直角
证毕
注：字母后面的2是平方,字母前面的2是2倍

上式可以转化为 CD/AD=BD/CD
因此 tan∠A=tan∠BCD
所以 ∠A=∠BCD
因为 ∠A+∠ACD=90°
所以 ∠BCD+∠ACD=90°
所以 ∠ACB=90°