您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为32，过点A且与AF1垂直的直线与X轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线3x+4y+14a2=0与圆M相交于E，F两点，且.ME•.MF=-12 a2，求椭圆方程．

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为32，过点A且与AF1垂直的直线与X轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线3x+4y+14a2=0与圆M相交于E，F两点，且.ME•.MF=-12 a2，求椭圆方程．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 13:21:16
问题描述：

设椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为
3
2
，过点A且与AF1垂直的直线与X轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线3x+4y+
1
4
a2=0与圆M相交于E，F两点，且
.
ME
•
.
MF
=-
1
2
 a2，求椭圆方程．

答

（1）由题意，不妨设P（-c，-b2a），Q（c，b2a），则直线PQ的斜率为b2ac=32∴a2−c2ac＝32，∴2e2+3e-2=0，∵0＜e＜1，∴e=12；（2）∵e=12，∴∠AF1B=60•，a=2c∵|AF1|=a，∴|BF1|=2a，即圆M的直径为2a，B（3c，0...
答案解析：（1）设出P、Q的坐标，利用直线PQ的斜率为

3
2
，建立方程，即可求得椭圆的离心率；
（2）先确定圆心坐标与半径，再利用
.
ME
•
.
MF
=-
1
2
 a2，可得M到直线3x+4y+
1
4
a2=0的距离为
1
2
a，利用点到直线的距离公式，即可求得椭圆的标准方程．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
知识点：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，解题的关键是确定圆的圆心与半径，属于中档题．

相关推荐