已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程．
问题描述：
已知椭圆C1：
+x2 a2
=1（a＞b＞0）的离心率为y2 b2
，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．
3
3
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程．
答
（1）由e=
，得
3
3
=1-e2=b2 a2
；2 3
由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得
=|b|．2
2
所以，b=
，a=
2
3
所以椭圆的方程是
+x2 3
=1．y2 2
（2）由条件，知|MF2|=|MP|，
即动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l1：x=-1的距离，
由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x
答案解析：（1）先利用离心率为
，求出a，b，c之间的关系，再利用直线l：x-y+2=0与圆相切求出b，即可求椭圆C1的方程；
3
3
（2）把条件转化为动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l1：x=-1的距离即可求出点M的轨迹C2的方程．
考试点：圆与圆锥曲线的综合．
知识点：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种．