宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD;第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
问题描述:
宽与长的比是
的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
−1
5
2
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
答
证明:在正方形ABCD中,取AB=2a,
∵N为BC的中点,
∴NC=
BC=a.1 2
在Rt△DNC中,ND=
=
NC2+CD2
=
a2+(2a)2
a.
5
又∵NE=ND,
∴CE=NE-NC=(
-1)a.
5
∴
=CE CD
=(
−1)a
5
2a
.
−1
5
2
故矩形DCEF为黄金矩形.
答案解析:此题首先设出正方形的边长是2a,然后根据作图中的方法分别用a表示出矩形的长和宽,再进一步求得它们的比值,根据黄金矩形的概念即可判断.
考试点:黄金分割;勾股定理;正方形的性质.
知识点:考查了黄金分割点的概念,熟记黄金比的值.