已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点.(1)求抛物线C的方程;(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、Q两点距离之和等于6,求M的轨迹方程.

问题描述:

已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、Q两点距离之和等于6,求M的轨迹方程.

(1)圆x2+y2-2y-3=0化为标准方程:x2+(y-1)2=4
∴圆的圆心P(0,1)…(1分),
设抛物线C:x2=2py…(2分),
∵抛物线C以圆心P为焦点,

p
2
=1…(3分),
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x2=4y…(4分).
(2)由方程组
x2+y2−2y−3=0
x2=4y
可得y=1…(5分),
依题意,圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,∴A(2,1)…(6分),
抛物线C即函数y=
1
4
x2
的图象,当x=2时,切线的斜率k=y′=
1
2
x=1
…(8分),
∴切线为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0…(9分),
∴x=0时,y=-1,所以Q(0,-1)…(10分).
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,
设它的方程为
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
…(12分),
则2a=|MP|+|MQ|=6,2c=|PQ|=2…(13分),
∴a=3,b2=a2-c2=8,
∴M的轨迹方程为
x2
8
+
y2
9
=1
…(14分).
答案解析:(1)根据圆x2+y2-2y-3=0的标准方程:x2+(y-1)2=4,可得圆的圆心P(0,1),根据抛物线C以圆心P为焦点,利用待定系数法可求抛物线的方程;
(2)联立方程,组成方程组
x2+y2−2y−3=0
x2=4y
,根据圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,可得A的坐标,进而可求切线方程,即可求Q的坐标,利用动点M到P、Q两点距离之和等于6,可知M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,利用待定系数法可求椭圆方程.
考试点:圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程;抛物线的标准方程.
知识点:本题以圆为载体,考查圆与圆锥曲线的综合,考查圆锥曲线的定义,解题的根据是判断曲线的轨迹,从而正确运用定义.