求积分∫dx/x*√(lnx(1-lnx)) 积分上限为e 下限为 √e我的做法是：变化 ∫1/√lnx(1-lnx)d(lnx),然后想把√lnx和√(1-lnx)拆项,但是不知道怎么拆= =

∫1/√lnx(1-lnx)d(lnx)
lnx=t
∫1/√lnx(1-lnx)d(lnx)
=∫1/√(1/4-1/4+t-t^2)dt
=∫1/√[1/4-(t-1/2)^2]d(t-1/2)
【后面套公式
然后还原】

凑微分法
∫dx/x*√(lnx(1-lnx))
=∫dlnx/√(lnx(1-lnx))
令lnx=t
=∫1/√(t(1-t))dt
=∫1/√(t-t^2)dt
=∫1/√[1/4-(t^2-t+1/4)]dt
=∫1/√[1/4-(t-1/2)^2]dt
=∫1/√[1/4-(t-1/2)^2]d(t-1/2)
=arcsin[(t-1/2)/(1/2)]+C
反代就可以了

然后可以令lnx=(sint)^2,积分范围是t从π/4到π/2
∫1/√lnx(1-lnx)d(lnx)=∫(2sintcost/sintcost)dt=2∫dt=π/2