lim x→∞(∫(x,0)|cost|dt)/x=?

问题描述:

lim x→∞(∫(x,0)|cost|dt)/x=?

|cost|是周期为pie/2的正函数
并且很容易知道(0,pie/2)和(pie/2,pie)和(n*pie/2,(n+1)*pie/2)上积分相同(不证明了,易知)
并且(0,pie/2)积分等于1
令x=n*pie/2+k(其中0=x趋向无穷就是n趋向无穷
原式=lim[n趋向无穷]{∫(0,n*pie/2+k)|cost|dt/(n*pie/2)+k}=lim{【∫(0,n*pie/2)|cost|dt+∫(n*pie/2,n*pie/2+k)|cost|dt】/(n*pie/2)+k}=n*∫(0,pie/2)[cost]dt/[n*pie/2+k]=n/[n*pie/2+k]=2/pie