\begin{array}{l}已知函数f(x)=x-\frac{1}{x+1},g(x)={x}^{2}-2ax+4,若∀{x}_{1}∈[0,1],∃{x}_{2}∈[1,2],\\ 使f({x}_{1})≥g(
问题描述：
\begin{array}{l}已知函数f(x)=x-\frac{1}{x+1},g(x)={x}^{2}-2ax+4,若∀{x}_{1}∈[0,1],∃{x}_{2}∈[1,2],\\ 使f({x}_{1})≥g({x}_{2}),则实数a的取值范围是\end{array}
答
f(x)=x-1/(1+x)在[0,1]单调增加 其最小值为f(0)=-1
故g(x)=x^2-2ax+4≤-1 在[1,2]恒成立 令x=1 可得到 a≥3>2 故g(x)在[1,2]单调减小 只需要g(1)≤-1
解得 a≥3a是否应为[2.25,+无穷大]?上次的回答题目没有看清楚。
欲满足 ∀{x}_{1}∈[0,1],∃{x}_{2}∈[1,2], 使f({x}_{1})≥g({x}_{2})成立
只需要 f({x}_{1})在[0,1]的最小值 ≥g({x}_{2}) 在[1,2]的最小值
而g(x) 是二次函数，开口向上，对称轴为 x0=a
故 1）当a令g(1)=1-2a+4≤-1解得a≥3 与a
2）当a>2时 区间[1,2]在对称轴左边，g(x)在[1,2]单调减小，最小值为g(2)
令g(2)=4-4a+4≤-1解得a≥2.25满足 a>2 此时a的范围为a≥2.25
3） 当 1≤a≤2时， g(x)在[1,2]最小值为g(a)=4-a^2≤-1 得a^2≥5与1≤a≤2矛盾