不经过原点O的直线L上有三点A,B,C,求证:存在实数x,y,且x+y=1,使得向量OC=x*向量OA+y*向量OB

问题描述:

不经过原点O的直线L上有三点A,B,C,求证:存在实数x,y,且x+y=1,使得向量OC=x*向量OA+y*向量OB

向量OC=向量OA+向量AC (1)
向量OC=向量OB+向量BC (2)
向量AC与向量BC在一条直线上,所以,可以设 向量AC=K×向量BC
将(2)式两边乘以k ,再减(1)式,得(k-1)向量OC=k×向量OB-向量OA
即,向量OC=k/(k-1)×向量OB-1/(k-1)×向量OA
令x=k/(k-1),y=-1/(k-1),则显然有x+y=1
这样就证出,存在实数x,y,且x+y=1,使得向量OC=x*向量OA+y*向量OB