椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),右顶点为A,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求离心率的取值范围
问题描述：
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),右顶点为A,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求离心率的取值范围
答
不妨设端点A在右端点为(a,0),M(x,y)
|M0|^2+|MA|^2=|0A|^2
计算得到M的轨迹x^2+y^2-ax=0
M必须与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)相交才能满足要求
故两方程联立得到
[(a^2-b^2)/a^2]x^2-ax+b^2=0
判别式△=a^2-4b^2*[(a^2-b^2)/a^2]≥0
根据c^2=a^2-b^2,离心率e=c/a
判别式整理得到4e^4-4e^2+1≥0
但(2e^2-1)^2≥0是显然的
所以只需要0