四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,角BAD=60度,侧面PAD为等边三角形,当二面角P-AD-B为120度时,直线PB与底面

问题描述:

四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,角BAD=60度,侧面PAD为等边三角形,当二面角P-AD-B为120度时,直线PB与底面
ABCD所成的角为多少

令AD的中点为E,过P作PF⊥BE交BE的延长线于F.
利用赋值法,设AB=1.
∵ABCD是菱形,∴AD=BC=AB=1.
∵E是AD的中点,∴AE=1/2.
由AE=1/2、AB=1、∠BAE=60°,得:AE⊥BE.
∴由勾股定理,有:BE=√(AB^2-AE^2)=√(1-1/4)=√3/2.
∵△PAD是等边三角形,∴PA=PD=AD=1,∴PE=√3/2.且PE⊥AE.
由BE⊥AE、PE⊥AE,得:∠PEB为二面角P-AD-B的平面角,∴∠PEB=120°.
由PE=√3/2、BE=√3/2,得:PE=BE,∴∠PBE=∠BPE=(180°-∠PEB)/2=30°.
∵AE⊥PE、AE⊥BE、PE∩BE=E,∴AE⊥平面PBE,而F在BE的延长线上,∴AE⊥平面PBF,
∴PF⊥AE,又PF⊥BE,AE∩BE=E,∴PF⊥平面ABE,∴∠PBE为PB与平面ABCD所成的角,
∴PB与平面ABCD所成的角为30°.