随机变量X依概率收敛于a,Y依概率收敛于b,又设函数个g(x,y)在点（a,b)连续,则g(X,Y)依概率收敛于g(a,b)

用epsilon-delta 语言证就是epsilon-delta语言证，对任意epsilon>0，存在delta>0，使得当||(x,y)-(a,b)||=delta)->0,n->正无穷。所以，P(|g(X(n),Y(n))-g(a,b)|>=epsilon)=delta)->0,n->正无穷。由于epsilon任意正数，所以由依概率收敛的定义，g(X(n),Y(n))依概率收敛到g(a,b)。你问有没有别的证法？有的。反证法，假设对于某个epsilon>0，存在c>0，有子列n(k)，k>=0使得P(||g(X(n),Y(n))-g(a,b)||>=epsilon)>c。由于子列X(n(k))和Y(n(k))依概率收敛，所以有子子列几乎处处收敛，对于那个子子列，由g连续，必定几乎处处收敛到g(a,b)，与P(||g(X(n),Y(n))-g(a,b)||>=epsilon)>c矛盾。所以....一样有两种证法，或者利用子列几乎处处收敛，或者利用性质((X(n)-a)^2+(Y(n)-b)^2)^{1/2}>epsilon，则|X(n)-a|>epsilon/2^{1/2}或者|Y(n)-a|>epsilon/2^{1/2}。利用P(A并B)