已知α∈(0,π/2),且2sin²α-sinαcosα-3cos²α=0,求[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]的值.

问题描述:

已知α∈(0,π/2),且2sin²α-sinαcosα-3cos²α=0,求[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]的值.

∵2sin²α-sinαcosα-3cos²α=0,
∴(2sinα-3cosα)(sinα+cosα)=0.
∵α∈(0,π/2),
∴sinα>0,cosα>0,sinα+cosα>0,
2sinα-3cosα=0即sinα=(3/2)cosα
代入sin²α+cos²α=1,
得|cosα|=2/√13.
∵α∈(0,π/2),∴cosα=2/√13.
[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]
=(√2/2)(sinα+cosα)/(2sinαcosα+2cos²α)
=(√2/4)/cosα
=(√26)/8.