如图,在△ABC中,∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I,若∠B=35°,BC=AI+AC,则∠BAC的度数为( ) A.60° B.70° C.80° D.90°
问题描述:
如图,在△ABC中,∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I,若∠B=35°,BC=AI+AC,则∠BAC的度数为( )
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
答
方法一:如图1,在BC上取CD=AC,连接BI、DI,
∵CI平分∠ACB,
∴∠ACI=∠BCI,
在△ACI与△DCI中,
,
AC=CD ∠ACI=∠BCI CI=CI
∴△ACI≌△DCI(SAS),
∴AI=DI,∠CAI=∠CDI,
∵BC=AI+AC,
∴BD=AI,
∴BD=DI,
∴∠IBD=∠BID,
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD,
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线,
∴BI是∠ABC的平分线,
∴∠ABC=2∠IBD,∠BAC=2∠CAI,
∴∠CDI=∠ABC,
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC,
∵∠B=35°,
∴∠BAC=35°×2=70°;
方法二:如图2,延长CA到D,使AD=AI,
∴∠D=∠AID,
∵BC=AI+AC,
∴BC=CD,
在△BCI与△DCI中,
,
BC=CD ∠BCI=∠DCI CI=CI
∴△BCI≌△DCI(SAS),
∴∠D=∠CBI,
∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线,
∴BI是∠ABC的平分线,
∴∠ABC=2∠CBI,
又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D,
∠BAC=2∠CAI=2∠ABC,
∵∠B=35°,
∴∠BAC=2×35°=70°.
故选B.