证明：

用C(n,k)表示n个中取k个的组合数.
1.(x-1/x)^2n 的展开式中第k项可以表示为 C(2n,k)*x^k*(-1/x)^(2n-k).所以若要某项是常数,只能 x^k*(-1/x)^(2n-k)是常数,从而 k=2n-k,k=n.由此可知常数项为
C(2n,n)*(-1)^n
=(2n)!/(n!)^2*(-1)^n
=[(1*3*5*...*(2n-1))*(2*4*6*...*2n)/(n!)^2]*(-1)^n
=[(1*3*5*...*(2n-1))*2^n*(1*2*3*...*n)/(n!)^2]*(-1)^n
=[(1*3*5*...*(2n-1))*2^n/n!]*(-1)^n
=(-2)^n*(1*3*5*...*(2n-1))/n!
2.展开式中二项式系数从C(2n,0)到C(2n,2n)共2n+1项,因此中间项的二项式系数为C(2n,n),从而中间项为 C(2n,n)*x^n.
C(2n,n)与上面完全类似可以求得为：(1*3*5*...*(2n-1))*2^n/n!,从而中间项C(2n,n)*x^n=(2x)^n*(1*3*5*...*(2n-1))/n!
3.利用二项式展开：
(n+1)^n
=C(n,0)*n^n+C(n,1)*n^(n-1)+...+C(n,n-2)*n^2+C(n,n-1)*n+1
所以(n+1)^n-1=C(n,0)*n^n+C(n,1)*n^(n-1)+...+C(n,n-2)*n^2+C(n,n-1)*n.
容易看出C(n,0)*n^n,C(n,1)*n^(n-1),...,C(n,n-2)*n^2均能被n^2整除.因此只要说明C(n,n-1)能被n^2整除.事实上,C(n,n-1)=n,所以C(n,n-1)*n=n^2能被n^2整除.因此(n+1)^n-1能被n^2整除.