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在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求

分类: 作业答案 • 2021-12-31 13:17:12

问题描述：

在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y²=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．

答

（1）依题意，得：

p

2

+4＝5，∴p=2．
抛物线标准方程为：y²=4x
（2）设圆心C的坐标为(

y

20

4

，y0)，半径为r．
∵圆心C在y轴上截得的弦长为4∴r2＝4+(

y

20

4

)2
圆心C的方程为：(x−

y

20

4

)2+(y−y0)2＝4+(

y

20

4

)2
从而变为：(1−

x

2

)

y

20

−2yy0+(x2+y2−4)＝0①
对于任意的y₀∈R，方程①均成立．
故有：

1−

x

2

＝0

−2y＝0

x2+y2＝4

解得：

x＝2

y＝0

所以，圆C过定点（2，0）．