曲面积分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
问题描述：
曲面积分 求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
求∫∫(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
积分区域是
(1) 半径为a的上半球的上表面(z>0的上表面)
(2)(x^2)/4 + (y^2)/9 + (z^2)/25 = 1 (z >= 0 的上表面)
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2
答
第一题∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy= (1/a³)∫∫Σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy= (1...第一类曲面积分符合 偶倍奇零 性质第二类曲面积分符合 偶零奇倍 性质刚好调转的。∫∫Σ xdydz，分别前侧和后侧前侧的曲面为Σ1：x = √(a² - y² - z²)后侧的曲面为Σ2：x = - √(a² - y² - z²)∫∫Σ xdydz= ∫∫Σ1 xdydz + ∫∫Σ2 xdydz= [+ ∫∫D √(a² - y² - z²) dydz] + [- ∫∫D - √(a² - y² - z²) dydz]= 2∫∫D √(a² - y² - z²) dydz= 2∫∫Σ1 xdydz