为什么动能公式与弹性势能公式有惊人的相似性

你可以这么看,动能和势能都是能量的一种,就像你说的那样,动能可以看作由于外力作用于物体做功导致该物体速度的增加而具有动能,动能显然应该等于外力所作的功.
同样弹簧的弹性势能也是由于外力作用于弹簧的一端做功导致弹簧变形而具有弹性势能,同样弹簧的弹性势能也应等于外力所作的功.
我们知道外力做的功等于外力作用点在外力作用下移动的距离,仔细观察一下,上述两种现象的异同点表现如下：
a、作为增加动能的例子,我们可以举两种,一种是在一个恒定力作用下,该物体从速度为零增加到v,这时,加速度为
a = F/m,
我们就知道了需要的时间为
t= v/a = mv/F,
由于加速度不变,平均速度显然是
Vp = (0 + v)/2 = v/2,
因此外力的作用点移动的距离,也就是物体移动的距离等于
l = mv/F * v/2 = (1/2)mv^2 /F
外力做的功为：
E = F * L = (1/2)mv^2 (注：^2表示平方)
这种情况相信你也能推导
增加动能的第二例子,我们可以选一个变化的外力,我们可以假定这个力与物体移动的距离满足下式,方向指向l0所在位置,亦即
F = k(l-l0),建立以I0为原点的坐标系,则上式表达为：
F = -kx
这个力显然是的物体从原来的起点-l0点向坐标原点运动,并在坐标原点达到最大v,过l0点后开始减速,从零点运动到l0点,外力沿移动方向上的平均值为：
Fp = kl0 /2
变化的外力所做的功,也就是物体获得的动能应该是
E = Fp * l0 = (1/2)kl0^2
我们可以得到每一位置的加速度为：
a = F/m = -(k/m)x
我们计算l0,也就是计算需要多长距离可以加速到v呢?这个计算起来比较复杂,注意到dl/dt = v,a = dv/dt有
x'' = -(k/m)x,x''代表x对t的二阶导数.
最终可以计算出(边界条件t=0,x=-l0)
x(t) = -l0 * cos(((k/m)^(1/2))t)
过原点的时间是π/(2(k/m)^(1/2))
求导计算出速度公式
v =l0 * (k/m)^(1/2)sin(((k/m)^(1/2))t)
v(t=0) = l0 * (k/m)^(1/2),
得到
k = mv^2 /l0^2
代入上面的获得动能计算公式得到：
E = (1/2)kl^2 = (1/2)mv^2 /l0^2 * l^2 = (1/2)mv^2
由此可以得到
E= (1/2)mv^2
b、作为增加弹性势能的例子,教科书上有推导,类似于a的第二种情形.也就是
平均弹力为最终弹力的一半
增加的弹性势能为
E = (1/2)kx^2
综合a,b,我们似乎看不到什么结论,但是从数学角度上看,我们都用到了一个线性函数y=kx下边围的面积为题,这实际上是一个积分问题,在线性函数这种特例下转换为了平均值乘以区间长度,线性函数在区间的一个端点（原点）为零,另一个端点达到最大kx,平均值恰巧是1/2kx,因此就有了 S = （1/2）kx * x = (1/2) kx^2,弹力的是这样,物体的动能也是这样.另外a中的第二种情况世纪的物理意义时一根无质量的弹簧可移动的端点挂上一个质量为m的质点,代表了质点的动能和弹簧的势能的转换.