已知x1,x2是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根. (1)求x1,x2的值; (2)若x1,x2是某直角三角形的两直角边的长,问当实数m,p满足什么条件时,此直角三角形的面积

问题描述:

已知x1,x2是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根.
(1)求x1,x2的值;
(2)若x1,x2是某直角三角形的两直角边的长,问当实数m,p满足什么条件时,此直角三角形的面积最大?并求出其最大值.

(1)原方程变为:x2-(m+2)x+2m=p2-(m+2)p+2m,
∴x2-p2-(m+2)x+(m+2)p=0,
(x-p)(x+p)-(m+2)(x-p)=0,
即(x-p)(x+p-m-2)=0,
∴x1=p,x2=m+2-p;
(2)根据(1)得到
直角三角形的面积为

1
2
x1x2=
1
2
p(m+2-p)
=
1
2
p2+
1
2
(m+2)p
=-
1
2
(p-
m+2
2
2+
(m+2)2
8

∴当p=
m+2
2
(m>-2)时,以x1,x2为两直角边长的直角三角形的面积最大,最大面积为
(m+2)2
8
1
2
p2