已知矩阵A的伴随矩阵A* =(1 0 0 0) (0 1 0 0) (1 0 1 0) (1 -3 0 8) 且ABA^(-1)=BA^(-1) + 3E 求B
问题描述：
已知矩阵A的伴随矩阵A* =(1 0 0 0) (0 1 0 0) (1 0 1 0) (1 -3 0 8) 且ABA^(-1)=BA^(-1) + 3E 求B
已知矩阵A的伴随矩阵A* =(1 0 0 0)
(0 1 0 0)
(1 0 1 0)
(1 -3 0 8)
且ABA^(-1)=BA^(-1) + 3E
求B
答
由 ABA^(-1)=BA^(-1) + 3E
两边右乘A,得 AB=B + 3A
两边左乘A*,得 |A|B = A*B +3|A|E
8 = |A*|=|A|^3
所以 |A|=2
所以 2B = A*B + 6E
即 (2E-A*)B = 6E
所以 B = 6(2E-A*)^-1
(2E-A*,E)
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
-1 0 1 0 0 0 1 0
-1 3 0 -6 0 0 0 1
r3+r1,r4+r1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 3 0 -6 1 0 0 1
r4-3r2
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 -6 1 -3 0 1
r4*(-1/6)
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 -1/6 1/2 0 -1/6
所以 B = 6(2E-A*)^-1 =
6 0 0 0
0 6 0 0
6 0 6 0
-1 3 0 -1