设直线kx+(k+1)y-1=根号2与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk,求S1+S2+.+S2010

问题描述:

设直线kx+(k+1)y-1=根号2与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk,求S1+S2+.+S2010

由题,将kx+(k+1)y-1=√2整理可得:
y=(√2-kx+1)/k+1,
即 y=-k/(k+1)x+(√2+1)/(k+1)
∴ y=-k/(k+1)x +(√2+1)/(k+1)与两坐标轴的交点为:
[0 ,(√2+1)/(k+1)]
和[(√2+1)/k, 0]
∵ k取1,2,…,2010
∴ S=(1/2)×(√2+1)/(k+1)×(√2+1)/k
整理可得
S=[(√2+1)²/2]×[1/ k(k+1)]
∴S1+S2+.+S2010 =[(√2+1)²/2]×
(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…-1/2010+1/2010-1/2011)
------------------------------------------这里有个裂项,你可以问下老师
∴S1+S2+.+S2010 =[(√2+1)²/2]×(1-1/2011)=(3015+2010√2)/2011
看我这么辛苦,就给点分吧,方法是对的,答案你可以检验一下