已知函数f（x）=x+lgx． （Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数； （Ⅱ）证明方程f（x）=3在区间（1，10）上有实数解； （Ⅲ）若x0是方程f（x）=3的一个实数
问题描述：
已知函数f（x）=x+lgx．
（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）证明方程f（x）=3在区间（1，10）上有实数解；
（Ⅲ）若x0是方程f（x）=3的一个实数解，且x0∈（k，k+1），求整数k的值．
答
（Ⅰ）证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x1+lgx1-（x2+lgx2）=(x1−x2)+lg
．x1 x2
∵设0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，ln
＜0，∴f（x1）＜f（x2）．x1 x2
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（1）g（10）=（-2）×8＜0，且y=g（x）的图象在（1，10）是不间断的，
方程f（x）=3在（0，+∞）有实数解．
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函数y=g（x）在 （0，+∞）是单调递增的．
∴函数g（x0有唯一的零点x0∈（2，3）．
故k=2．